Hasil Kali Titik Pada Vektor (Dot Product)

contoh soal  Hasil Kali Titik Pada Vektor (Dot Product)

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh

u.v =

artinya panjang vektor u dan didefinisikan sebagai = (jika di ruang-2) dan = (jika di ruang-3). Panjang sebuah vektor juga dikenal dengan nama norma. Secara geometris dapat dilukiskan seperti pada gambar dibawah ini.

Gambar 1 : vektor pada ruang-2

Jika kita perhatikan, vektor u yang melalui titik asal tersebut membentuk segitiga siku-siku terhadap sumbu-x. Kita bisa memanfaatkan Rumus Pythagoras yaitu = u₁² + u₂² =

Gambar : vektor pada ruang-3.

Dengan memanfaatkan Rumus Phytagoras juga, diperoleh

= (OR)² + (RP)²

          = (RS)² + (OS)² + (RP)²

         = (OQ)² + (OS)² + (RP)²

        = u₁² + u₂² + u₃²

=

Penting untuk diketahui juga bahwa sifat – sifat pada perkalian titik vektor dibawah ini :

Misalkan u, v dan w adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka

1. v.v = yakni = (v.v)^1/2
   Bukti :Karena vektor v berimpit dengan vektor v itu sendiri maka adalah sudut diantara v dan v adalah 0⁰, diperolehv.v = cos        = cos 0
         =
   
2. Jika u dan v adalah vektor – vektor taknol dan adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka
   lancip jika dan hanya jika u.v > 0 tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 = jika dan hanya jika u.v = 0 Bukti :
   
   Perlu diingat bahwa akan lancip jika dan hanya jika cos > 0, akan tumpul jika dan hanya jika cos < 0 dan akan = (siku-siku) jika dan hanya jika cos = 0
   Karena > 0 dan > 0 serta berdasarkan Definisi Dot Product bahwa u.v = cos , maka u.v memiliki tanda sama dengan cos .
   Karena 0 , maka sudut lancip jika dan hanya jika cos > 0, tumpul jika dan hanya jika cos < 0, dan = jika dan hanya jika cos = 0
   
3. u.v = v.u
   Bukti :
   u.v = (u₁, u₂, u₃).(v₁, v₂, v₃)       = (u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃)       = (v₁ u₁ + v₂ u₂ + v₃ u₃) [komutatif bil.riil]
        = (v₁, v₂, v₃).(u₁, u₂, u₃)
       = v.u
   
4. u.(v + w) = u.v + u.w
   Bukti :
   u.(v + w) = (u₁, u₂, u₃).[(v₁, v₂, v₃) + (w₁, w₂, w₃)]                    = (u₁, u₂, u₃).(v₁ + w₁, v₂ + w₂, v₃ + w₃)                    = (u₁[v₁ + w₁] + u₂[v₂ + w₂] + u₃[v₃ + w₃])
                = ([u₁v₁ + u₁w₁] + [u₂v₂+ u₂w₂] + [u₃v₃ + u₃w₃]) [distributif      bil.riil]
                   = ([u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃] + [u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃])
                  = (u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃) + (u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃)
                 = u.v + u.w
   
5. k(u.v) = (ku).v = u.(kv)
   Bukti :
   k(u.v) = k[(u₁, u₂, u₃).(v₁, v₂, v₃)]              = k(u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃)              = (k[u₁ v₁] + k[u₂ v₂] + k[u₃ v₃])
               = ([ku₁]v₁ + [ku₂]v₂ + [ku₃]v₃) [asosiatif bil.rill]
              = (ku).v
             = (u₁[kv₁] + u₂[kv₂] + u₃[kv₃]) [komutatif bil.riil]
            = u.(kv)
   
6. v.v > 0 jika v 0 dan v.v = 0 jika v = 0

   Bukti :

   Karena v 0 berakibat = > 0, sehingga v.v = > 0

   Karena v = 0 berakibat = = = 0, sehingga v.v = = 0

   
   

   http://sofianingrumhampatra.wordpress.com/2013/01/29/hasil-kali-titik-pada-vektor-dot-product/#more-490